Задачи
на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
- Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация c=(c1m1+c2m2)/(m1+m2).
- Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством
данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом
доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение.
Рассмотрим конкретные задачи.
Задача №1.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров
и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в
оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты
вылили в первый раз?
Решение.
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x)
литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось
(54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится (54-x)/54литров
кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате
получили уравнение: x+x(54-x)/54=30
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны:
не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости.
Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей
смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах,
называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Задача №2.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы
получить раствор 65%-й кислоты?
Решение.
1 способ
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса
чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г -
масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а):
0,5x+0,7y=0,65(x+y)
Получаем соотношение 1:3.
Ответ: 1:3.
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим
(или старинным) способом.
2 способ
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, ax/100 г –
масса чистой кислоты в первом растворе, а by/100 г – масса чистой кислоты
во втором растворе, c(x+y)/100 г – масса чистой кислоты в смеси.
ax/100+by/100=c(x+y)/100
,
при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).
Задача №3.
Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый
сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в
первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250
кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите,
сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400
кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит 400*30/100=120 кг, а во втором
сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух
сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:
100y/150=100(120-y)/250
Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40%
олова, то в 150 кг первого сплава олова будет 150*40/100=60 кг, а
во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26%
меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова
содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав
весит 250 кг, то имеем:
х-60+75+65=250, откуда х=170 кг
Ответ: 170 кг.
Задача №4.
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды
200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в
оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа
осталось ещё в руде?
Решение.
Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа,
концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию
() руде?
нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до
и после удаления примесей.
Масса руды, кг
|
Масса железа, кг
|
Концентрация (доля железа в руде)
|
|
Руда
|
500
|
х
|
x/500
|
Руда после удаления примесей
|
500-200=300
|
х-0,125?200=x-25
|
(x-25)/300
|
Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то
концентрация железа в ней равна x/500%.
Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125?200=25 (кг), то его масса
в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся
руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна
(x-25)/300.
По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5.
Составим уравнение:
(x-25)/300-1/5=x/500,
5(x-25)-300=3x
x=212,5
Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.
Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:
212,5-25=187,5 (кг)
Ответ: 187,5 кг.
Пример раствора. Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20
грамм соли. Получим расствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм.
Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли
к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200)100 = 10%,
Процентное содержание воды - (180 : 200)100 = 90%. Результаты запишите в виде
таблицы.
вода
|
180
|
90%
|
соль
|
20
|
10%
|
расствор
|
200
|
100%
|
Пример смеси. Возьмем одно ведро цемента и три ведра песка
высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим
смесь цемента с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация
(процентное содержание цемента) - это отношение количества цемента к количеству
смеси, записанное в процентах - (1 : 4)100 = 25%,
Процентное содержание песка - (3 : 4)100 = 75%. Результаты запишите в виде таблицы.
Процентное содержание песка - (3 : 4)100 = 75%. Результаты запишите в виде таблицы.
цемент
|
1
|
25%
|
песок
|
3
|
75%
|
смесь
|
4
|
100%
|
При решении задач на смеси, растворы и сплавы, мы используем их
общее свойство, которое заключается в том, что масса смеси, раствора или сплава
равна сумме масс их компонентов. Процентное содержание каждого компонента
указывает на отношение массы компонента к массе смеси (раствора или сплава).
При смешивании смесей, растворов или сплавов их общие массы,
также как и массы компонентов складывают.
В этой статье мы везде будем использовать тот факт, что 1%
=0,01.
Задача5. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного
соли к смеси добавли 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода
это раствор, содержащий 0 литров соли.
1-й раствор
|
2-й раствор
|
3-й раствор
|
смесь
|
|||||
вода
|
100%
|
|||||||
соль
|
15%
|
20%
|
0%
|
|||||
расствор
|
4 л
|
100%
|
5 л
|
100%
|
1 л
|
100%
|
Концентрация раствора - это отношение объема (массы) соли к
объему (массе) раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно
решить три следующие задачи:
а) найти объем соли в каждом из трех растворов;
б) найти объем соли в смеси;
в) найти объем смеси;
г) найти отношение объема соли, содержащейся в смеси и объема
самой смеси и выразит это отношение в процента.
1. Объем соли в 1-м растворе. 40, 0,15 = 0,6 (л);
2. Объем соли в 2-м растворе . 50,2 = 1 (л);
3. Объем соли в смеси. 0,6 + 1 + 0 = 1,6(л);
4. Объем смеси. 4 + 5 + 1 = 10(л);
5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)100 =16%.
Ответ: 16%.
Задача6. Сколько килограммов олова нужно добавить к куску
бронзы массой 4 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем
олова до 25% от общей массы?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что смешали два
сплава, причем второй сплавсодержит 100% олова и не содержит остальных
компонентов.
1-й сплав
|
2-й сплав
|
новый сплав
|
||||
олово
|
15%
|
100%
|
60%
|
|||
остальные компоненты
|
0%
|
|||||
сплав
|
4 кг
|
В данной задаче известно процентное содержание компонента,
поэтому мы можем количество этого компонента во втором сплаве считать равнцым х
кг и выражить отношение массы олова в новом сплаек к массе сплава через х .
1. Масса олова в первом сплаве 40,15 =0,6 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х (кг);
3. Масса олова в новом сплаве 0,6 + х (кг);
4. Масса второго сплава х (кг);
5. Масса нового сплава 4 + х (кг);
6. Отношение массы олова в новом сплаве к массе нового сплава
(0,6 + х):(4 + х), по условию задачи оно должно быть равно 0,6. Имеем уравнение
(0,6 + х):(4 + х) = 0,6. Это уравнение равносильно уравнению
5(0,6 + х) = 3(4 + х);
5х - 3х = 12 - 3;
х = 4,5.
Ответ: 4,5 кг.
Задача7. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70%
олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм
олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая что к первому
сплаву добавили второй сплав содержащий х кг олова и 8 кг меди.
1-й сплав
|
2-й сплав
|
новый сплав
|
||||
олово
|
70%
|
х кг
|
3
|
|||
медь
|
8 кг
|
1
|
||||
сплав
|
10 кг
|
100%
|
100%
|
100%
|
По условию задачи концентрация меди в новом сплаве должна быть в
три раза выше, чем концентрация олова. Этот факт мы используем для составления
уравнения. Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть
равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна
25%, а концентрация олова равна 75%.
1. Масса олова в первом сплаве 100,7 = 7 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х кг;
3. Масса олова в новом сплаве х + 7 (кг);
4. Масса ноавого сплава 10 + 8 + х (кг)
5. Концентрация олова в новом сплаве (х + 7):( 18 +х), имеем
второе уравнение.
(х + 7):( 18 + х) = 0,75;
4(х + 7) = 3(18 + х);
4х - 3х = 54 - 28;
х = 26.
Ответ: 26 кг.
Задача 8. Первоначально влажность зерна составляла 25%.
После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить
влажность просушенного зерна.
Рещение.
В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью
"твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы,
учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу
самой смеси.
1-я смесь
|
2-я смесь
|
|||
вода
|
m
|
25%
|
m - 30
|
?
|
зерно
|
||||
смесь
|
200 кг
|
100%
|
200-30
|
100%
|
1. Масса воды в 1-й смеси 200 0,25 = 50 (кг);
2. Масса 2-й смеси 50 - 30 = 20 (кг);
3. Масса второй смеси 200 - 30 = 170 (кг);
4. Процент влажности второй смеси (20:170)100 =11,8%.
Ответ: 11,8%..
Задача 9. Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие - 90%
воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг сежих грибов?
Решение.
свежие грибы
|
сухие грибы
|
|||
вода
|
90%
|
12%
|
||
"мякоть"
|
||||
смесь
|
22> кг
|
100%
|
?
|
100%
|
При сушке грибов, ягод, фруктов происходит испарение воды,
поэтому масса воды уменьшается, а масса "мякоти" сохраняется
неизменной.
1. Процентное содержание "мякоти" в свежих грибах 100%
- 90% = 10%;
2. Масса "мякоти" 22 0,1 = 2,2 (кг);
3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% - 12% = 88%;
4. Пусть масса сушенных грибов х (кг);
5. Отношение массы "мякоти" к массе сушенных грибов 2,2
: х, что по условию задачи равно 0,88.
Имеем уравнение 2,2 : х = 0,88;
х = 2,2:0,88;
х = 2,5;
Ответ: 2,5 кг.
Задача 10. Сначала приготовили 25% раствор поваренной
соли. Затем одну треть воды испарили. Найти концентрацию получившегося
раствора.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
раствор
|
новый раствор
|
|||
соль
|
25%
|
?
|
||
вода
|
-1/3
|
|||
раствор
|
100%
|
100%
|
Процентное содержание воды в растворе 100% - 25% = 75%.
Пусть масса раствора была х кг, тогда масса соли в растворе 025х
кг, масса воды 0,75х кг.
Одну треть воды испарили, значит, уменьшилась как масса воды в
растворе, так и масса самого раствора, количество соли в растворе не
изменилось.
Масса воды в новом растворе 0,75х - 0,25х = 0,5х (кг).
Масса нового раствора х - 0,25х = 0,75х (кг).
Концентрация нового раствора (0,25х : 0,75х)100 = 33,7%.
Ответ: 33,7%.
Задача 11.Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров
3%-ного раствора спирта нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5%
раствор.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
1-й раствор
|
2-й раствор
|
новый раствор
|
||||
спирт
|
6%
|
3%
|
5%
|
|||
вода
|
||||||
раствор
|
1 л
|
100%
|
?
|
100%
|
Рещение.
Объем спирта в 1-м растворе 10,06=0,06 (л).
Пусть объем второго раствора равен х л.
Объем спирта во втором растворе 0,03х (л).
Объем спирта в новом растворе 0,06 + 0,03х (л).
Объем нового раствора 1 + х (л).
Концентрация нового раствора (0,06 + 0,03х) : (1 + х). По условию
задачи она должна быть равной 0,05. Имеем уравнение
(0,06 + 0,03х) : (1 + х) = 0,05;
20(0,06 + 0,03х) = 1 + х;
х - 0,6х = 1,2 - 1;
х = 0,5;
Ответ: 0,5 л.
Виртуальный репетитор
Масса раствора равна сумме масс воды и соли.
Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот
сплав.
Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.
Концентрация соли или процентное содержание соли в растворе
- это отношение массы соли к массе раствора, записанное в виде процентов.
Чтобы найти на сколько процентов большее число больше
меньшего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на меньщее число.
3. Полученное число умножить на сто.
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на меньщее число.
3. Полученное число умножить на сто.
Чтобы найти на сколько процентов меньшее число меньше
большего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на большее число.
3. Полученное число умножить на сто.
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на большее число.
3. Полученное число умножить на сто.
Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.
Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются
множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания
одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.
Комментариев нет:
Отправить комментарий